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ビルゲイツの面接試験-ジャンケン編

 大槻ケンヂの「グミ・チョコ」を読んでいて思いついたのが、今日のクイズ。単なる数学の問題ではないので良く考えてみて欲しい。

 あなた(=Aさん)とBさんにジャンケンを連続で1000回してもらいます。あなたもBさんも、パーで勝つたびに500円、チョキで勝つたびに200円の賞金を主催者からもらえます。グーで勝ったり、アイコになった場合には一円ももらえません。この条件で、あなたの賞金を最大化するために、どんな戦略を採りますか?ただし、Bさんと前もって相談することはできないし、試合中はしゃべったり身振りで合図を送ってはいけません。表情も見えないように、ミラーガラスのヘルメットを被ってもらいます。試合中に見えるのは相手が何を出したかだけです。

 回答は、コメント・トラックバック・ブクマコメントなどで送っていただきたい。

 ちなみに、この問題には面白いパラドックスが隠されている。普通に考えると、グーを出しても期待値はゼロなので、出してもしかたがない。と、いうことは、相手もグーは出して来ないので、パーを出しても決して勝つことはできない。そうなると、チョキを出すしかないが、相手も同じロジックで考えてくるとチョキ同士のアイコになってしまう。

Sakura_3

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Comments

すー

1.ひたすらグーを出し続けて終了後に半額25,000円もらえるようB君に交渉
500円*1000回/2=25,000円

リスク
・交渉できずに0円
・相手が賞金を全額持つ状態から交渉が始まるため、0円を含む不利な金額を提示されても妥協せざるを得ない。

2.グー・パーと規則的に出し続ける。
それによって相手にはパー・グーと出してもらい、
500*500=250,000の収入を得る。

1よりも意思疎通に時間がかかり最高額は減る。
また相手が欲張りだと(パー・チョキと続ければB君は35,000円を得られるかもしれない)0円です。
しかし、その場合は途中でこちらも律儀に負け続ける必要はないのでランダムに出すようになります。
そのことにB君が気づけばB君もまた当初のこちらの提案が結局B君にとっても最適だと気づき、提案に乗ってくれると思います。

hg

パー・チョキをお互い続ける、
かしら。

Tatsuki

負けるまでグーを出し、次は勝つまでパー、以後繰り返し。

cyc

グーとパーを交互に出してみる。
そこで相手がパーとグーを交互に出すか様子見。
もし相手がパーとチョキを交互に出してきた場合は、こちらはチョキを出し続けて拒否の意を示す。
というのはどうでしょう。

ユウダイ

すーさんの1、にするぐらいだったら、
僕はひたすらパーを出し続けて、
Bさんがグーを出して交渉に持ち込んでくるのを待ちます。

交渉に応じるかはBさんとの今後の関係しだいでしょう。

kagahiro

最初はグーで次はパー、あとはそれを繰り返す。ただし、相手がチョキを出すようならグーを連続して出す。

yy

hgさんに同じ

yy

あ、tatsukiさんに同じ、だった。(あぅ、名前の位置が。。。)

yy

連続投稿すみません。

やっぱり、普通にじゃんけんし、自分がパーで勝ったらBさんに250円ほど支払います。以後ずっとパーしか出さない。
と言う戦略でFAにします。

n

二人の勝ち分の和を最大化して、なおかつ勝ち分が平等になるのは、相手と自分が交互にパーで勝ち続けた場合。相手のそのことに気づいてもらうために、自分はパーとグーを交互に出し続ける。平均的なレベルの知能を持った相手であれば、こちらの意図を察して、相手もグーとパーを交互に出し続けてくれるはずである。

相手がこちらの意図を察してくれないようなら、しばらくチョキを出し続けて、「そちらが協力してくれないのなら、こちらも協力しない」ことを伝える。その後で、パーとグーを交互に出すループに戻る。

人柱

グーが厄介ですね。どうすればいいのか。

ttkk

グーとチョキしか出さない。
自分がグーを出さないと相手がパーを出してくれない。相手のパーをチョキで勝ちにいく。
この方法だと獲得賞金では相手に勝てないが、勝ち負けではなく、
確実に自分の賞金を獲得できる方法だと思う。

きっこ

主催者が賞金を払うのがポイントですね。競争するわけではないので、協力できる。

お互いにとって利益が最大になるのは、こちらがグーパーグーパー、あちらがパーグーパーグーと出す時。
相手も合理的に考えて、そうしてくると仮定する。

なので、戦略としては
まず、グー、パー、グー、パーと出す。

相手も同じ事をしてきたら(=あいこが続いたら)ランダムでグー、パーを出す。周期がずれてあいこが終わった時点でグー、パー、の周期を続ける。

相手がせこく時々チョキ
を出して来るのを防ぐため、相手がチョキを出した直後一回だけチョキを出す戦略を取る。


HL

この問題では数学的な最適解を考えるのが困難(もしくは存在しない)とヒントが出ています。これに類似するものとしてすぐに「囚人のジレンマ」を思いつきました。コメントでは多くが相手との交渉を前提にしているようですが、これを現実の企業間での競争として場合利益の折半などは不可能です。「囚人のジレンマ」における考察と同様にこの問題においても「しっぺ返し」の戦略が良い結果を与えるのではないでしょうか。最初にパーを出し、その後は相手が出した手をそのまま真似する手法です。これならグーとパーを交互に出すなど二人の利益を最大にすることが可能です。
 しかし、相手が戦略に気づいた場合グー、パー、チョキを交互に出されてしまうため万能ではないですね・・・

aaa

交渉することができないのはBさんだけなので、Cさんを交渉役として間に挟み、
「Bはパー、Aはグーを1000回だす。得られた賞金は一部をCの取り分とし、残りをAとBで山分けにする。」という約束を取り付けます。

Cは交渉するだけでお金をもらえ、AとBはボラティリティー0でお金を得ることができるので3人とも納得してもらえると思います。
BやCが強欲だと破綻するかもしれませんが・・・。

けけら

この問題だと、負けた場合のペナルティが欲しいですね。
「ただし一回負けるごとに300円失う」とか。

S.I.

相手はグーを出しても何ももらえないのでチョキかパーしか出さないとすると
こちらとしては、相手にパーを出させてチョキで勝つしかない。

相手がこちらのグー連続にのってパーを出してきたら、次はチョキを出す。
またグー連続を続ける。

arkth

チョキしか出さない。

Pochi

負けた場合のペナルティと所持金の設定があれば、数学的には計算できてしまいますね(ケリー値)。
これって賞金を最大にする戦略が存在しないということではないですか。もし戦略が存在した場合、相手もその戦略を使うことで戦略が無効にされると思うのですが。
主催者が参加費用とったら大もうけ?

achiwa

パー,パー,グー,パー,パー,グー...って,3回に2回はパーで,3回に1回グーを出すってのはよくばりか.
相手によっては乗ってこないかもしれないけど.相手が乗ってくると,3回あたりで,こちらは1000円,あちらは500円
手に入る.

fon

交渉も協力も、いっさい期待できない(そんなものは裏切られる)と考えると
相手にチョキ以外を出させようと思ったら、相手が有利になるグーを出すしかない。
そこで相手がパーを出せばチョキで勝てる可能性が出てくる。
答えは、グーとチョキ(グミ・チョコ)を出す。

090

これはどう協力するかが鍵だと思う。なのでまずこっちが相手を完璧に信頼してるって事をアピールするために最後までグーを出し続ける。試合が終わった後交渉する。
普通の人間なら協力が無ければ賞金を得るのは無理だと気付くので交渉ができるはず。

の

2回目以降は前回Bの出した手を出す。

Bが賢くて協力的ならば、グーパーのループに集約する。500円x500回
Bがアホならランダムに手がでるため、116.667円x1000回が収益期待値となる。
Bが賢くて敵対的か、激しくアホであるとずっとチョキしか出し続けない。またAとまったく同じ戦略をとる可能性がある。この場合収益は0円。

SQ

cycさんと同じ。
まずは、相手の知能が高いことと協力的であることを想定して、
サイン(グーとパーを交互に出す。)を送る。

まさ

手のひらに「山分けしよう!」と書いておいて、最初にパーを出す(笑)

hofx

Cさんを連れてきて、グーを出させ続ける。
なしですかね…

KMFIS

グーとチョキをランダムに出し続ける。
何回かに1回はチョキで勝てるので、それが確実だと思います。

グーを出し続けて、後で交渉するのは不確実。
またこちらがグーとパーを出し続けることで、相手からグーを誘導するのも難しい。
グーとチョキしか出さないことを相手が認識すれば、相手をパーしか出さない。

KMFIS

よく考えたら規則的な方が、相手の認識が早そうです。
ということで規則的にグーとチョキを出すにします。

たにぐち

最初はグー。
2回目以降は相手が一つ前に出した手を出す。

お互いがこの戦略をとるとまずいが、上の大抵の人と折り合える。

かわうそ

賢そうな人が多いので、私はパーを出し続けてみよう^^。

aa

グーで相手を殴る。

gen

この勝負受けてなきゃいけないなら、
最初は、グー。次はチョキで様子見。

でも私は、1000回もじゃんけんする時間がもったいないので、
1000回全部チョキしあk出さないと宣言して、とっとと帰る。

愛読者

主催者にあらかじめ主催者が払わなければならなくなる賞金の期待値(どちらか一方が全てパーで勝った場合、どちらか一方が全てチョキで勝った場合、どちらか一方が全てグーで勝った場合、全てアイコの場合/4パターン=17.5万円)を伝え、「10万(もしくは15万くらい)私に払えば賞金はいらないよ。」と言っておいて本番でチョキを1000回出す。
Bさんとは交渉せず、賞金をくれる主催者と交渉する。
主催者との交渉が成立すれば、本番中はiPodでお気に入りの曲を聴きながらジャンケンをすればいい。

catmore

Aさん、Bさんがグー・チョキ・パーを出して勝負したときの片方の取り分は以下のような表で表される。

p g c
p 0 0 200
g 500 0 0
c 0 0 0

・p=パーを出す確率
・c=チョキを出す確率
・g=グーを出す確率
・AさんもBさんも同じ確率で手を決めるとする!


1回当たりの期待値=500pg+200pc=100p(5g+2c) ・・・(*1)

となる

ここで
・ p+c+g=1
・ g=0 (とする!)
なので

・ c=1-p

となり、(*1)へこれを代入すると

期待値 =100p(5*0+2*(1-p))
=200p*(1-p)
=200*(p-p^2)


となる。
ここで、pは0から1の間の値をとりうる。
期待値が最大になるのは(p-p^2)が 0≦p≦1の範囲でとる最大値を求めれば判る。
(p-p^2)=-p(p-1) でp=0,1で最小となり、p=1/2=0.5 で対称かつ最大

よって

(理屈上の)1回当たりの最大の期待値 は=200*(0.5-0.5^2)=50
1000回じゃんけんをすると 50*1000=50000円


本題に戻り
戦略は以下の通りです。
・グーは出さない
・チョキとパーを半々の割合で出す

もぞ

よく考えると、ジャンケン1000本勝負って相当体力いるよね...
アタシはお金を諦めて1000本勝負を達成することに集中しよっと。

pipes

グー、チョキ、パーの順番をずっと続ける。

別人28号

じゃんけんしない。

pascal

(お互いの利益が最大)=(自分の利益が最大)といえないところが一番難しい・・・。

しかも1000回の試行回数もネック。

意思の疎通が手の出し方で図れるか様子見→同調してお互いの利益が最大になるやり方(グーパー交互)→最後に裏をかく(パーチョキ交互)かな

domyagon

1000回というのがポイントだと思う。
こんだけ回数があるから、規則性のある手の出しかたをして相手に悟らせろ、
と問題を出す側が言っている起臥する。問題文には「試合中に見えるのは相手が何を出したかだけです。」
とも書いてあるし。
だから、グーとパーを交互に。

相手がパー、チョキで合わせて来たら殴る。

sita

グー、チョキ、パーを適当にランダムに出す。なぜならどれか(グーとパーの組み合わせ以外の)二つまたは一つしか出さないとよほどの事が無い限り相手もあいこに持っていき二人とも損するから。

ただししばらく続けてみて相手がグーとパーを交互またはランダムに出すようならこちらもそうする。チョキとパーの時も同様。

相手が単にチョキしか出さ無い場合は、じゃんけんが終わった後、相手を一発殴って帰る。

feb

答え:グーとチョキを交互に出す。

意思疎通というのは考えない事として、
A(わたし)がグーとチョキを交互に出しているとBが気づいた時の事を考える。

Aがグーの時は、当然パーを出し、
Aがチョキの時は、グーで勝っても何ももらえないので、
どうでもいいと思うだろう。

ここで、1000回という回数も考慮すると、
勝ったってなんの特にもならないグーを出して打ち負かすより、
ずっとパーを出し続けているほうが楽である、
とBが考える事を期待できる。

よって、(1000 / 2) * 200 = 100000 円に限りなく近い額を手にすることができる。

Bがわざわざパー、グーと交互に出して来た場合は、やはり殴る。

Yasu

数学的に解きます。

上述「愛読者」さんの仮定のうち、g=0を決めない方が良いです。(p+c+g=1はOK。)

すると、1回あたりの期待値は...

500pg+200pc = 500p(1-p-c)+200pc
= -500(p-(1-3c/5)/2)^2+125(1-3c/5)^2

となるので、この期待値を最大にするためには、
p=(1-3c/5)/2、かつ、125(1-3c/5)^2を最大にするc
が、数学的に最適な戦略です。

となると、c=0, p=1/2, g=1/2となり、
このとき期待値は125となります。

要は、AさんとBさんが「ランダムに」パーかグーを出すことで、Aさんからみると、確率的に4回に1回は勝って500円ゲットし、2回は引き分け1回は負け、となります。

後は、相手も数学的に最適な戦略を採用することを祈りましょう...?

Yasu

すいません、「catmore」さんの投稿でした...。

通り

Emailでやり取りはOK?

JING

チョキ→パー→チョキ・・・を繰り返す。

き

グーとパーを両手で突き出す。
相手もグーとパーを非対称的に出すしかなくなる。
10秒くらい経過した後、主催者にこう言う
「僕らは500回同じパターンでジャンケンしました。」
後は主催者から両者25万円ずつ貰い、肩を組んで帰路につく

エイトマン

不思議な道具で、相手をドラえもんに変身させます。

その後はパーで連戦連勝。

TSUYOSHI

相手の考えていることは必ずしも分からないと思うので、
適当にじゃんけんしてみて(もしくは一番期待値が大きいグーパーを交互)出してみて、
戦況によってじゃんけんのパターンを変えるのがベストかと。

‐相手が機械的でまったくランダムならパー。
‐相手が交渉を希望できそうな人なら、グー、もしくはパー。
‐相手がグー、パーの交互ならこちらも交互に。
‐相手がけんかに弱いなら、最初にグーを出して鼻の頭を思いっきり殴り気絶させて、相手の手をグーにさせて残り999回はパーを(ガラスがあるから無理か。。。)

状況に応じて臨機応変にじゃないでしょうか。

LISApapa

 おはようございます。
> あなたの賞金を最大化するために
 つまり、相手に勝たせても自分の賞金が増えればいいわけだ。
 相手がチョキだけを毎回出すとは限らないわけだから。
 パーとチョキを交互に出す。(賞金をもらえるのはこの2つしかない)
 パーでチョキに負けて相手に賞金がいっても、
 チョキでグーに負けても自分の賞金は同じくゼロ。
 どうでしょうか?

お金持ち

チョキを出し続ける。
理由
(賞金で)負けることが無い。
相手がいろいろ考えて、パーを出した分だけ勝てる。
ただし、1000回のじゃんけんの後に、ただ疲れただけの結果になるかもしれない。

toppio

Bさんがある程度の思考能力と協調性を持った人間だと仮定する。
ある程度とは、

AとBが主催者側から得ることが出来る最大金額は
500×1000=500000
であり、
これをすべて得るためには、
1000回の試行すべてて、
どちらかがグーで勝た無ければならない。
それを2人で分割できれば1人250000を得ることが出来る。
そして2人の協力なくしてはこれは不可能である。
お互い相手を出し抜こうとすれば、得られる金額は下がる。

ということを理解してくれる程度である。
できるだけ早い時間帯にBさんにこれを理解してもらうことが重要である。

僕ならば、100回くらいまではずっとグー・パー・グーと交互に出し続ける。
相手がパー・グー・パーと交互に出してくれるようになればそれで良い。
そうでなければ、100回を超えたあたりから、少しの間、じゃんけんをボイコットするという作戦に出る。
違うよ。と教えるのだ。
それでも駄目ならば、200回くらいからは、もうランダムで出す。いくらかはもらえるだろう。
相手を出し抜こうと考えながら800回もじゃんけんをするなんて、無理だ。

ぴろすけ

基本はグーを出し続ける。
相手がチョキ以外を出すようになるまで。
チョキ以外を出すようになれば、
チョキをメインにチョキ、パーを適度に出す。

グーは利益にならないので。。
相手がチョキに傾いたらまたグーを出し続ける。

基本グーは出さない。相手がチョキに固執
している時のみである。

flyingdog

自分の取り分を最大化する答えにならないのですが、ひたすらチョキを出し続けるというのは・・・。
相手が賞金額の多さを目当てに、パーを出さば、全て勝てる。
グーを出されても、勝負に負けても相手に賞金はないので、相手の賞金はない。チョキであれば、アイコでこれも賞金は動かない。

最後の1回だけは、一発勝負をかけてパーを出すかも。

herosea

さとしさんの学友?だったheroseaと申します。
mixiからたどってきました。

まず、このゲームは勝てる勝てないというゲームではないと思いました。
何故なら、このゲームは自分が損するわけではないから。主催者が賞金を払うのであって負けた方が払うわけではない。
となると、お金がもらえるチョキとパーだけを出していれば・・ということになる。別に相手が賞金をもらおうがもらえまいが、こちらの懐は傷まないのだから。

だったら、パーを出し続けて、チョキで負け続けようがどこかで相手が遊び心に意地悪でグーを出してくれればラッキーと思って事にあたることも考えられる。

ということで僕の戦略は、相手の遊び心をくすぐる戦略だ。パーやチョキを出し続けるということはしないで最初はランダムにグーチョキパーを出す。一見バカみたいなことをやると見せて、相手も遊び心を出してくることを待つ。

更に、この遊び心の手を途中から、グー・パーの交互出しに換えていく。相手の遊び心で、逆の出し方、パー・グーと乗ってきてくれたらしめたものだ。これで交互に500円づつ互いに入る。

決して、途中でパー・グーに対して、チョキ・パーを出して総取りすることはやらない。相手を裏切ることになるから。でも相手が裏切るかも・・、その時はその時だ。

言葉もなくじゃんけんの手出しだけで相手に意を伝えることができるかどうかがポイントだ。難しいかもしれない。でも、1000回もやるんだよね? その内、相手も判ってくれるんじゃないかな。協力しないと稼げないことが。

まぁ、相手が乗ってきてくれなくても構わない。何故なら損はしないゲームなのだから。

ruto

確率的でないパターンで協調しようとすると1000回目に裏切られる(相手が赤の他人の場合)。
1000回目に裏切られることが確定すると999回目も裏切ることになる。
同様考えると、結局全く協調できないことがわかる。

よって確率的なパターンを出すのが良いことがわかる。

通りすがりの猫

互いに自分のことしか考えないなら結局、互いに完全ランダムの場合と同じ平均77,777円しか得られないでしょう。
互いに協力するなら、最大250,000円近く得られます。私ならこちらに賭けます。
一番意図が相手に伝わりやすく、ロスが少ない方法は、グーを出し続ける方法だと思います。ほんの数回で相手が気付いて、パーを出し続けてくれるでしょう。
相手がいい人なら、500回目前後でグーパーを変わってくれるか、ゲーム終了後に半額くれるでしょう。
期待値は250,000円弱×(相手がいい人の確立)です。私はこれが77,777円より高いと信じます。

ruto

よく考えてみたらチョキとパーによる協力の場合、裏切るメリットが無いので最後まで協力できるな。

ロジック好き

「グー」と「チョキ」をランダムに出す

「グー」で相手の「パー」を誘因し、相手の「パー」に対して「チョキ」で勝つ。
ランダムに出すのは、相手の「パー」を固定させる為。
(こちらの「グー」がいつ出るか分からなければ相手は常に「パー」を出す事が最適になる)

半分勝てる計算なので、200円 × 500回で「期待額10万円」になる。
これにより、普通にやった場合の「期待額7万7777円」に比べ増やすことができる。
なお、相手の「期待額25万」は気にしてはいけない

knenet

リターンとリスクが最大の方法:
1000回グーを出し続ける。
Bさんが賞金を貰ったらグーで殴り倒して賞金を手に入れる。

zuru

相手が何を出したか見えるのだから、
後出しして、1000回全て勝つ。

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