Life is beautiful

　先日、宿題に出しておいた金貨クイズ、今回は計４名が正しい答えを送ってきた。予想に反して、そのどれもが私が用意していた答えと異なるものであった。予想外だったもので、検証に手間取ってしまったが、どれも正しく偽造品を見つけることの出来る手順であった。

［模範解答］
　まず考えやすくするために、中間ゴールとして、２回天秤を使ったところで、後１回で偽金貨が分かる状態にまで持って行くことにする。その状態には、

（a）２つの金貨のうちどちらかが偽造品だ判明している状態、
（b）３つの金貨に偽造品が含まれていることが判明しており、かつ、すくなくともそのうち２つが偽造品だった場合に本物より重い（もしくは軽い）のが分かっている状態、

の２通りがある。（a）の場合には、片方の金貨を本物の金貨と比べて見れば良いし、（b）の場合にはそのうち偽造品だった場合に本物より重いのか軽いのかが分かっている二個の金貨の重さを比べれば良い。

　まず金貨を４個ずつ天秤に乗せて比べる（１回目）。このとき、左の皿に置いたコインを【ＡＢＣＤ】、右の皿に置いたコインを【ＥＦＧＨ】、残りの５つを【ＶＷＸＹＺ】と呼ぶ。

１．釣り合った場合、【ＶＷＸＹＺ】の中に偽造品があることが判明。
　【ＶＷＸ】と【ＡＢＣ】を比べる（２回目）。
　1-1．【ＶＷＸ】が重い場合、【ＶＷＸ】の中に重い偽造品があることが判明 （b）
　1-2．【ＶＷＸ】が軽い場合、【ＶＷＸ】の中に軽い偽造品があることが判明 （b）
　1-3．釣り合った場合、【ＹＺ】の中に偽造品があることが判明 (a)

２．【ＡＢＣＤ】が重い場合、【ＶＷＸＹＺ】の中に偽造品がないこと、【ＡＢＣＤ】の中に偽造品がある場合には重い偽造品、【ＥＦＧＨ】の中に偽造品がある場合には軽い偽造品であることが判明。
　【ＡＢＣＥＦ】と【ＶＷＸＹＺ】を比べる（２回目）。
　1-1．【ＡＢＣＥＦ】が重い場合、【ＡＢＣ】の中に重い偽造品があることが判明 （b）
　1-2．【ＡＢＣＥＦ】が軽い場合、【ＥＦ】の中に軽い偽造品があることが判明 （a）
　1-3．釣り合った場合、【Ｄ】もしくは【ＧＨ】に偽造品があることが判明 (b)

３．【ＡＢＣＤ】が軽い場合は、２と全く同じ操作で良いので省略（「重い」と「軽い」を入れ替えて考えれば良い）。

　この問題につまずく人はたいてい、既に本物だと判明した金貨をリファレンスとして使えるということに気がつかないために苦労するようだ。特に、ステップ２に至った段階で、「せっかく１３個から８個に絞ることが出来たのだから」と、【ＶＷＸＹＺ】を頭の中から除いて考えてしまうようだ。

　ちなみに、模範解等を考えているうちに、この問題にある工夫をすると、１４個の金貨の中からでも偽造品を見つけられることが判明した。さて、その「ある工夫」とは何だか分かる人はいるだろうか？